Faktoid

Přepis

Přepis pořízen nástrojem Přepisovatel.

00:00:00,610 Co jsou v matematice periodická desetinná čísla,

00:00:09,850 To, předpokládám, víte.

00:00:12,820 Když si spočítáte zlomek 1/3, vyjde vám jeho desetinný tvar jako 0,3333... a tak dále, říká se 0,3 periodicky. Taková 1/7, ta je taky periodická, ta zase vyjde na 0,142857.

00:00:41,220 A číslice 142857 se opakují neustále dokola a dokola a dokola. Když víme, že 1/3 je 0,3 periodicky, dokázali bychom udělat třeba 0,1 periodicky?

00:01:00,680 Myslím si, že bychom to dokázali. Byla by to přesně 1/3 toho 0,3, takže bychom si vzali výraz 1/3, udělali bychom si z něj třetinu,

00:01:14,450 a výsledek bude 0,11111... periodicky, takže tedy: 1/9 je vlastně 0,1 periodicky. Zkuste si to, jestli vám to vychází, uvidíte, že vám to vychází. A teď půjdeme dál. 1/9 tedy generuje jedničku periodicky. 2/9 nepřekvapí, budou generovat 0,222...

00:01:44,740 Periodicky a tak dále. 5/9 vám vygeneruje 0,55555, 7/9 vygeneruje 0,777... periodicky.

00:02:00,580 A věřte nebo nevěřte, ale když vezmete číslo třeba 123 a podělíte hodnotou 999, tak dostanete 0,123123123 periodicky.

00:02:19,880 Do čitatele zlomku můžete dát jakékoliv celé číslo a pokud do jmenovatele zlomku dáte tolik devítek, kolik číslic má horní číslo, tak vám vyjde nula celá - a to horní číslo periodicky. Vyzkoušejte si to a uvidíte, že to je pravda. A teď to začne být trošku divné.

00:02:44,090 Víme že 8/9 dá 0,888... periodicky. Když dáme 9 lomeno 9.

00:02:56,050 Výsledek bude 0,999 periodicky, ale 9 / 9 vlastně můžeme vykrátit! Pokud je nahoře i dole stejné číslo, tak zlomek se rovná 1.

00:03:11,530 Tedy vlastně 0,99 periodicky

00:03:16,390 Se rovná 1.

00:03:19,410 Díváte se na to, vidíte, že to tak je, ale nemůžete tomu uvěřit. Intuice vám říká, že 0,99 něco něco něco něco nemůže být přece to samé, co 1. Problém je v tom, že periodická čísla pokračují opravdu až do nekonečna, a tam, v tomhle nekonečnu, ty nekonečně malé devítky nakonec prostě při svém součtu dají tu jedničku.

00:03:53,330 Jakkoliv to je kontraintuitivní a těžko představitelné a stěží pochopitelné pro nematematika, tak pro matematika tu je obyčejný součet nekonečné řady. Každá další devítka v tom periodickém čísle je desetkrát menší, než ta předchozí. Nematematik si říká: "to je sice hezké, ale pořád ty číslice jsou menší, než ta jednička!"

00:04:24,910 Matematik jenom ví, že vy jako nematematik podceňujete to, jak nekonečně velké je nekonečno.